Soit \(f:U\to{\Bbb R}^2\) avec \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(x_i=(a_1,\ldots,a_n)\in U\)
\(f\) admet une dérivée partielle par rapport à \(x_i\) si \(x_i\mapsto f(a_1,\ldots, x_i,\ldots,a_n)\) est dérivable
Autrement dit si : $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n)=\displaystyle{\lim_{h\to0} }\frac{f(a_1,\ldots,x_{i}+h,\ldots, a_n)-f(a_1,\ldots,x_i,\ldots,a_n)}{h}$$
Soit \(f:\Omega\subset\Bbb R^2\to\Bbb R\) une fonction de deux variables définie au voisinage de \((x_0,y_0)\)
On appelle dérivée partielle de \(f\) aux points \((x_0,y_0)\) les nombres $${{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)}}={{f'_1(x_0)}}\quad\text{ et }\quad{{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}}={{f'_2(y_0)}}$$
On peut aussi définir les dérivées partielles comme limites des taux d'accroissement : $$\begin{align}{{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)}}&={{\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h}}\\ {{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}}&={{\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}h}}\end{align}$$
On peut noter les dérivées partielles comme : $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)\quad\text{ ou }\quad f'_{x_i}(x_0)\quad\text{ ou }\quad\partial_{x_i}f(x_0)$$
Opérations sur les dérivées partielles : $$\begin{align}{{\frac{\partial(f+g)}{\partial x}(M_0)}}&={{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)+\frac{\partial g}{\partial x}(M_0)}}\\ {{\frac{\partial(f\cdot g)}{\partial x}(M_0)}}&={{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)g(M_0)+f(M_0)\frac{\partial g}{\partial x}(M_0)}}\\ {{\frac{\partial(f/g)}{\partial x} }}&={{\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)g(M_0)-f(M_0)\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)}{g(M_0)^2} }}\end{align}$$
Si \(g\) est à une seule variable et \(f\) est à plusieurs variables, $$
\begin{align}\frac\partial(g\circ f)\partial x(M_0)&=g'(f(M_0))\frac\partial f\partial x(M_0)\\ \frac\partial(g\circ f)\partial y(M_0)&=g'(f(M_0))\frac\partial f\partial y(M_0)\end{align}$$
Si $$f\circ\gamma:\begin{align}I\subset\Bbb R&\to{{\Omega\in\Bbb R^m\to\Bbb R}}\\ t&\mapsto\gamma(t)\mapsto f(\gamma(t))\end{align}$$, alors $$\begin{align}{{(f\circ\gamma)'(a)}}&={{\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\gamma'(a)} }}\\ &={{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)\,x'(a)+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)\,y'(a)+\frac{\partial f}{\partial z}(M_0)\,z'(a)}}\end{align}$$
Une fonction qui admet une dérivée partielle en \(x_0\) peut ne pas être continue en \(x_0\)
(Continuité)
Une fonction qui admet une dérivée partielle en \(x_0\) peut ne pas être différentiable en \(x_0\)
(Différentiabilité - Différentielle)
Dérivée partielle seconde
Dérivée directionnelle